Kvadratická forma
Vzhled
Kvadratická forma je kvadratická funkce na vektorovém prostoru, zúžení (restrikce) bilineární formy.
Kvadratické formy jsou důležitým matematickým pojmem, vyskytují se například v geometrii kvadrik nebo teorii čísel. Užívají se také ve fyzice a např. jako energie systému.
Definice
[editovat | editovat zdroj]Nechť je bilineární forma na vektorovém prostoru nad tělesem . Pak funkce
se nazývá kvadratická forma na .
Základní vlastnosti
[editovat | editovat zdroj]Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.
pro všechna a .
Nejběžnější kvadratická forma na prostoru s reálným skalárním součinem je kvadrát normy
Kvadratickou formu můžeme v souřadnicích rozepsat jako
kde jsou prvky čtvercové symetrické matice řádu .
Druhy kvadratických forem
[editovat | editovat zdroj]Kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru se nazývá
- pozitivně definitní, jestliže platí
- pozitivně semidefinitní, jestliže platí
- negativně definitní, jestliže platí
- negativně semidefinitní, jestliže platí
- indefinitní, jestliže taková, že a .
Literatura
[editovat | editovat zdroj]- HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139.
- BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337.
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu kvadratická forma na Wikimedia Commons